Estruturas Hiperestáticas: Entenda os Conceitos de um Jeito Diferente

A maioria dos projetos estruturais envolve a solução de estruturas hiperestáticas e exige do engenheiro um domínio sólido da análise estrutural.

Para começar, os sistemas estruturais formados por lajes, vigas, pilares e fundações são encontrados em edifícios residenciais, comerciais e industriais.

Outros sistemas formam pontes, barragens, plataformas de petróleo, cascos de navios, ou seja, uma infinidade de empreendimentos no campo da engenharia civil.

Nesse cenário, a presença de múltiplos apoios e membros, interligados entre si, é necessária para manter o equilíbrio global da estrutura e caracteriza as estruturas hiperestáticas.

Aliás, a transição de uma solução minimalista isostática para uma hiperestática amplia a capacidade do sistema estrutural de atender às demandas arquitetônicas e funcionais mais exigentes.

Neste artigo, discutiremos os conceitos de estruturas hiperestáticas sob uma perspectiva diferente da abordagem usual, sem recorrer à resolução de sistemas de equações complexos.

O que são estruturas hiperestáticas?

Então, em estruturas planas, a estática fornece três equações independentes de equilíbrio:

• ∑Fx = 0 . ∑Fy = 0 . ∑M = 0 (1)

Nessas expressões, F representa o somatório das forças nas direções do sistema de coordenadas (x, y), e M representa os momentos fletores.

Assim, definem-se como estruturas isostáticas ou estaticamente determinadas aquelas cujas reações de apoio e esforços internos podem ser obtidas apenas a partir das equações de equilíbrio da estática.

Nesse caso, o número de reações de apoio (NR) é exatamente igual ao número de equações disponíveis.

Por outro lado, quando NR excede o número de equações de equilíbrio (NEQ), a estrutura é denominada hiperestática, ou estaticamente indeterminada.

Nesse contexto, introduz-se o conceito de grau de indeterminação estática (GIE) ou grau de hiperestaticidade, correspondente ao número de incógnitas estáticas adicionais, também chamadas de redundantes:

• GIE = NR – NEQ; (2)
• GIE = 0 → estrutura isostática;
• GIE > 0 → estrutura hiperestática;
• GIE < 0 → estrutura hipostática;

Por outro lado, o cálculo do GIE em treliças envolve o número de reações de apoio quanto a quantidade de barras ligadas aos nós.

Isso ocorre porque, em uma treliça plana, cada nó fornece duas equações de equilíbrio independentes (∑Fx = 0 e ∑Fy = 0), resultando em um total de 2j equações para um sistema com j nós.

Assim, o GIE para treliças pode ser determinado pela seguinte relação:

• GIE = m + r – 2j; (3)
• m: número de barras;
• r: número de reações de apoio;
• j: número de nós;

Logo, a expressão (3) permite avaliar se uma treliça é isostática, hiperestática ou hipostática, pois depende da relação entre o número de barras, apoios e nós do sistema estrutural.

Extensão para estruturas tridimensionais

Em relação às estruturas espaciais (3D), o princípio permanece o mesmo; porém, o número de equações de equilíbrio aumenta, pois em um sistema tridimensional existem seis equações de equilíbrio:

• ∑Fx = 0; ∑Fy = 0; ∑Fz = 0; (4)
• ∑Mx = 0; ∑My = 0; ∑Mz = 0. (5)

Essas equações representam o equilíbrio de forças e momentos em relação aos eixos x, y e z.

O cálculo do GIE em pórticos e treliças espaciais segue os mesmos princípios apresentados para o caso 2D, considerando o maior número de equações de equilíbrio disponíveis no espaço tridimensional.

Exemplos de determinação do grau de hiperestaticidade

Então, a Figura 2 apresenta alguns exemplos de sistemas estruturais mais simples para introduzir o cálculo do grau de indeterminação estática (GIE), incluindo vigas, pórticos e treliças com diferentes condições de apoio.

Com base nos exemplos apresentados nesta figura, calcularemos o grau de indeterminação estática (GIE) de cada elemento estrutural, mediante as equações já apresentadas acima.

Viga em balanço

• Número de reações: 3 (R, H, M);
• Número de equações: 3;
• GIE = 3 – 3 = 0 (isostática);

Pórtico Plano

• Número de reações: 6 (R1, R2, H1, H2, M1 e M2);
• Número de equações: 3;
• GIE = 6 − 3 = 3 (hiperestático);

Viga contínua

• Número de reações: 4 (R1, R2, R3, H);
• Número de equações: 3;
• GIE = 4 – 3 = 1 (hiperestático);

Treliças planas:

• Treliça 1: m = 3; r = 3; j = 3;.
• GIE = 3 + 3 – 2·3 = 0 (treliça isostática);
• Treliça 2: m = 5; r = 4; j = 4;
• GIE = 5 + 4 − 2. 4 = 1 (treliça hiperestática);

Portanto, esses exemplos mostram, de forma simples, como o acréscimo de mais apoios ou barras pode transformar um sistema isostático em uma estrutura hiperestática.

Estruturas hiperestáticas versus isostáticas

Estruturas isostáticas e hiperestáticas apresentam diferenças importantes na forma como resistem aos esforços internos e distribuem os carregamentos. Deste modo, ambos os tipos de sistemas estruturais são utilizados conforme as necessidades do projeto.

As estruturas isostáticas aparecem com frequência em soluções mais simples, nas quais a facilidade construtiva e a rapidez na execução são fatores importantes:

• Viga em balanço;
• Pilares com uma extremidade livre.

Por outro lado, estruturas hiperestáticas predominam em obras de maior porte e em sistemas estruturais, nos quais se busca maior rigidez global e melhor distribuição dos esforços:

• Vigas contínuas com dois ou mais apoios;
• Pórticos planos e espaciais;

Dito isso, em estruturas isostáticas, a perda de um único apoio ou elemento estrutural pode levar ao colapso da estrutura, pois não existem caminhos alternativos para a transmissão dos esforços.

Porém, as estruturas hiperestáticas possuem vínculos adicionais; assim, os esforços podem se redistribuir entre diferentes partes da estrutura.

Logo, o sistema estrutural pode manter-se em equilíbrio mesmo após a perda parcial de algum elemento ou apoio. Outra diferença importante está relacionada ao efeito das deformações impostas, como:

• Variações de temperatura;
• Retração dos materiais;
• Recalques diferenciais de apoio;

Em estruturas isostáticas, essas deformações não geram esforços internos adicionais, pois a estrutura ajusta-se livremente às variações impostas.

Entretanto, nas hiperestáticas, os vínculos restringem parte desses movimentos, fazendo com que essas deformações produzam esforços internos significativos.

A matemática das estruturas hiperestáticas e isostáticas

Nesse contexto, as estruturas isostáticas podem ser resolvidas apenas pelas equações de equilíbrio da estática.

Já nas estruturas hiperestáticas, as forças internas e as reações de apoio ficam indeterminadas somente por essas equações, logo, é necessário utilizar outros métodos de análise estrutural, entre os quais se destacam:

• Método das Forças;
• Método dos deslocamentos;
• Elementos Finitos;
• Princípio dos trabalhos virtuais;

Dito isso, o uso de softwares de cálculo estrutural torna-se praticamente indispensável devido à complexidade desses sistemas, que incluem:

• Número elevado de incógnitas;
• Múltiplas combinações de carregamento;
• Condições de contorno;

Redistribuição de esforços em estruturas hiperestáticas

As estruturas hiperestáticas destacam-se pela presença de múltiplos vínculos e pela ligação entre os elementos estruturais. Dessa forma, os esforços internos podem se reorganizar dentro do sistema estrutural.

Para compreender essa ideia de forma mais intuitiva, imagine duas pessoas com resistências semelhantes transportando uma vigota de laje treliçada em uma obra, cada uma segurando uma extremidade da peça.

Nessa situação, o peso da viga é dividido entre os dois pontos de apoio formados pelos trabalhadores, de modo semelhante ao comportamento de uma viga isostática.

Agora imagine que uma terceira pessoa passe a segurar a peça em uma posição central. Nesse caso, parte do peso passa naturalmente a ser compartilhada com esse novo apoio.

No entanto, se uma quarta e/ou uma quinta pessoa também ajudarem a sustentar a viga em posições simétricas em relação ao centro, a carga passa a ser distribuída entre um número maior de participantes.

De maneira análoga, em estruturas hiperestáticas, os esforços se distribuem entre diferentes elementos estruturais, conforme fatores como:

• Rigidez relativa das partes da estrutura.
• Condições de apoio:
• Compatibilidade dos deslocamentos e deformações impostas pelos vínculos existentes.

Esse comportamento está diretamente associado à continuidade estrutural e à compatibilidade das deformações entre os elementos conectados, características típicas de sistemas hiperestáticos.

Compatibilidade dos deslocamentos na estrutura

Em termos simples, compatibilidade significa que certos pontos da estrutura devem se movimentar de forma coordenada devido às ligações existentes entre os elementos.

Caso um apoio impeça o deslocamento vertical em um nó, por exemplo, todos os elementos ligados àquele ponto precisam se deformar de maneira a respeitar essa restrição.

Assim, é essa interdependência entre os deslocamentos que permite a redistribuição dos esforços entre diferentes partes da estrutura.

Logo, esse comportamento pode ser observado em diferentes sistemas estruturais, seja em estruturas metálicas, concreto armado, concreto protendido, madeira e até mistas.

Em síntese, a redistribuição de esforços é uma característica fundamental das estruturas hiperestáticas, pois permite que as cargas encontrem diferentes caminhos dentro dos elementos estruturais.

Como resultado, os esforços tendem a se distribuir entre vários elementos, contribuindo para um comportamento estrutural mais equilibrado.

Vigas hiperestáticas e redução dos momentos máximos

Uma consequência importante da redistribuição de esforços em estruturas hiperestáticas é o melhor aproveitamento da capacidade resistente dos elementos estruturais.

Para ilustrar essa ideia, veja Figura 3, uma viga simplesmente apoiada com vão L, submetida a um carregamento distribuído e uniforme (q). Nesse caso, o momento fletor máximo ocorre no meio do vão e é dado por:

• M = qL²/8;

Por outro lado, considere a mesma viga, submetida ao mesmo carregamento (q) e ao mesmo vão L, porém com as extremidades engastadas.

Aliás, nessa situação, a restrição à rotação nos apoios altera a distribuição dos momentos fletores ao longo do elemento estrutural.

Como resultado, surgem momentos negativos nos apoios, e o momento positivo no meio do vão é reduzido. Para esse caso, os valores característicos dos momentos fletores são:

• Nos apoios: M = -qL²/12;
• No meio do vão: M = qL²/24;

Efeito da presença dos engastes em vigas com dois apoios

Na Figura 3, essa diferença fica evidente ao comparar os diagramas de momentos fletores da viga simplesmente apoiada com os da viga engastada.

Observa-se que, em comparação com a viga simplesmente apoiada, o momento positivo na viga engastada é menor, e os esforços passam a ser distribuídos por diferentes regiões da viga.

Esse comportamento ocorre porque os vínculos adicionais limitam os deslocamentos e rotações da estrutura, modificando a forma como os esforços se distribuem ao longo do elemento.

Assim, em vez de concentrar os esforços em um único ponto, a estrutura passa a distribuir os momentos fletores entre o vão e os apoios.

Por exemplo, uma viga apoiada em pilares nas suas extremidades, um simples aumento da largura dos pilares na direção da viga pode diminuir o momento positivo, aumentar o negativo ou equilibrá-los.

Essa solução é muito comum na engenharia estrutural, pois também pode ajudar na redução de flechas nos vãos de vigas.

Portanto, esse fenômeno contribui para um comportamento estrutural mais equilibrado e ajuda a explicar por que a hiperestaticidade permite soluções mais eficientes do ponto de vista do dimensionamento.

Considerações finais

Estruturas hiperestáticas fazem parte da maioria dos sistemas estruturais utilizados na engenharia, como edifícios, pontes e barragens.

Embora a análise estrutural exija métodos mais elaborados, a presença de vínculos adicionais permite redistribuir os esforços entre diferentes elementos da estrutura, contribuindo para um comportamento estrutural mais robusto.

Por fim, compreender os conceitos de estruturas hiperestáticas permite ao engenheiro interpretar com maior clareza o comportamento das estruturas e tomar decisões mais consistentes no projeto estrutural.

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