Dimensionamento de Viga T em Concreto Armado com Cálculo Manual (Parte 2)

Neste artigo, vamos explorar o dimensionamento de viga t de concreto armado à flexão simples. Esta é a Parte 2 do conteúdo.

Na primeira parte foram apresentadas as principais definições de viga t, com ênfase na largura colaborante das lajes segundo a NBR 6118.

Em suma, a viga se beneficia de uma faixa das lajes adjacentes e, com isso, a seção deixa de ser apenas retangular e passa a trabalhar como uma seção em forma de t.

Aliás, a laje alinhada com a viga, na parte superior, colabora na resistência à compressão do concreto nas regiões de momentos positivos.

Por outro lado, em caso de vigas invertidas, a laje pode conectar com a viga nos apoios, onde ocorrem os momentos negativos (ver Figura 1).

Assim, torna-se possível até reduzir a armadura longitudinal e atenuar as flechas da viga, ampliando o leque de soluções estruturais disponíveis para o engenheiro.

Recomenda‑se também a leitura do artigo 1: Definições de viga t em concreto armado.

Flexão simples: Dimensionamento de viga t em concreto armado

Então, o mecanismo baseia‑se nas mesmas hipóteses simplificadas para vigas de seção retangular, já discutidos em flexão Simples em vigas de concreto armado. com a mesma notação geométrica e definições das principais variáveis, tais como: bw, h, d, x, λ,∝c e η.

A propósito, uma viga com seção em t é decomposta em retângulos equivalentes e o ponto de partida do dimensionamento é a verificação da posição da linha neutra, definida pela profundidade (λ.x) na seção transversal, pois surgem dois casos distintos:

• Caso 1: λ.x ≤ hf;
• Caso 2: λ.x > hf;
• hf: altura da mesa da viga;

Do ponto de vista teórico, a NBR-6118 permite a substituição do diagrama de tensão de compressão no concreto, de um curvo-retangular por um somente retangular com altura (λ.x).

Assim, o parâmetro λ descreve uma redução da altura da linha neutra em função do fck do concreto, isto é, resistência característica à compressão.

• λ = 0.8: fck ≤ 50 MPa; (1)
• λ = 0.8 – (fck-50)/400 : fck > 50 MPa; (2);

No entanto, a referida norma também introduz os parâmetros ηc e ∝c, fatores de redução do valor da tensão constante do diagrama retangular equivalente (∝c.ηc.fcd), também em função do fck:

• ηc= 1: fck ≤ 40 MPa; (3)
• ηc = (40/fck)^1/3: fck > 40 MPa; (4)
• ∝c = 0.85: fck ≤ 50 MPa. (5)
• ∝c = (0.85),[1-(fck-50)/200]: fck > 50 MPa; (6)
• fcd = fck/४_c: ४_c=1.4, onde ४_c refere-se ao coeficiente de minoração da tensão ; (7)

Portanto, vamos deduzir as equações de dimensionamento de viga t de concreto armado à flexão simples, levando-se em conta os dois casos descritos acima.

Caso 1: Dimensionamento de Viga t (λx ≤ hf)

Por isso, a linha neutra encontra-se no máximo até o limite de altura da mesa (hf), logo, às tensões de compressão no concreto restringem-se nesta região (Figura 2).

Deste modo, em vez de uma seção em forma de t, adota-se uma viga com uma seção retangular de largura “bf” e altura “h“, pois toda a parte comprimida concentra-se na mesa da viga.

Logo com base na Figura 2, o equilíbrio de forças entre o concreto comprimido (Rcd) e a região tracionada (Rsd), determinam-se:

• força de compressão no concreto: Rcd = ∝c.ηc.fcd.bf.λ.x; (8)
• força de tração na armadura: Rsd = As.fyd; (9)

Por outro lado, o momento resistente (Mrd) pode ser descrito de duas maneiras equivalentes, multiplicando-se as respectivas forças pelo braço de alavanca (z):

• Mrd = Rcd.z = ∝c.ηc.fcd.bf.λ.x.(d – (0.5).λ.x); (10)
• Mrd = Rsd.z = As.fyd.(d – (0.5).λ.x); (11)

Além disso, o momento fletor solicitante na viga (Msd) deve ser menor ou igual ao momento resistente (Mrd):

• Msd ≤ Mrd; (12)

Como calcular a altura da linha neutra(x)?

De posse da geometria da viga e dos esforços solicitantes, podemos manipular as equações (10) e (12), e obter a altura da linha neutra (x) pela solução de uma equação do 2o.grau:

• (0.5).∝c.ηc.fcd.bf. λ².x² – (∝c.ηc.fcd.bf.λ.d).x + Msd = 0; (13)

Em suma o dimensionamento da viga t, neste caso, segue estas etapas:

• Determinar a altura da linha neutra: Equação (13);
• Se λ.x ≤ hf : calcular a armadura de tração (As) manipulando a equação (11):
• As = Msd / [fyd. (d – (0.5).λ.x)]; (14)
• Calcular fyd = fyk/४s; (15) onde ४s refere-se ao coeficiente de minoração da tensão de escoamento da armadura;
• Por fim, se λ.x > hf: a viga enquadra-se no Caso 2;

Por exemplo, grande parte do dimensionamento de laje treliçada ou nervurada se enquadra no Caso 1 (λ.x ≤ hf), pois a altura da linha neutra permanece restrita à região da mesa, na capa de concreto destas lajes.

Caso 2:(λx > hf)

Nesta situação, a altura da linha neutra (λ.x) não se limita apenas a região da mesa da viga, pois ocupa também uma parte da área da nervura ou alma, conforme ilustrado na Figura 3.

Com essa finalidade, a resultante de força de tração da armadura (Rsd) é equilibrada por duas parcelas de forças de compressão no concreto (Rcd1 e Rcd2).

A propósito, na figura 3 mostra-se uma transformação bastante intuitiva da seção, com a viga t (áreas 1, 2, 3 e 4 ) definida pela superposição de duas vigas equivalentes:

• Viga t: largura de mesa (bf – bw) e altura h (áreas 1, 3 e 4), gerando a resultante de compressão Rcd1 e momento resistente (Mrd1);
• Viga retangular: largura bw e altura h (áreas 2 e 4), gerando a resultante de compressão Rcd2 e momento resistente (Mrd2).

Assim, as forças de tração e compressão mostra um novo panorama de equilíbrio, conforme Figura 3:

• força resultante de compressão no concreto: Rcd1 + Rcd2; (16)
• Rcd1 = ∝c.ηc.fcd.(bf-bw).hf; (17)
• Rcd2 = ∝c.ηc.fcd.bw.λ.x ; (18)
• força de tração na armadura: Rsd = As.fyd; (19)
• Equilíbrio de forças internas: Rsd = Rcd1 + Rcd2; (20)
• As.fyd = ∝c.ηc.fcd.(bf-bw).hf + ∝c.ηc.fcd.bw.λ.x; (21)

Em seguida, devido o equilíbrio de momento fletores na linha de ação da armadura inferior e braços de alavanca (z1 e z2), tem-se:

• z1 = d – (0.5).hf; (22)
• z2 = d – (0.5).λ.x; (23)
• Mrd1 = Rcd1.z1 = ∝c.ηc.fcd.(bf-bw).hf.(d – 0.5 hf); (24)
• Mrd2 = Rcd2.z2 = ∝c.ηc.fcd.bw.λ.x.(d – 0.5 λ.x); (25)
• Msd ≤ Mrd1 + Mrd2; (26)

Equilíbrio de Momentos Fletores da Seção Equivalente

Desse modo, substituindo-se as equação (25) em (26), obtém-se o valor para a altura da linha neutra pela solução da equação abaixo:

• (0.5).∝c.ηc.fcd.bw.λ².x² – ∝c.ηc.fcd.bw.λ.d.x + (Msd – Mrd1) = 0; (27)

No entanto, a NBR-6118 delimita a posição da linha neutra para impedir uma condição de ruptura frágil no domínio 4:

• x/d ≤ 0.45: concretos com fck ≤ 50 MPa; (28)
• x/d ≤ 0.35: concretos com 90 MPa < fck ≤ 50 MPa; (29)

Por outro lado, para maiores detalhes dos domínios de deformação do concreto, consulte o artigo: Clique Aqui

Portanto, com a definição da altura da linha neutra (x) e dos domínios de deformação, calcula-se a armadura de tração (As) manipulando a equação (21):

• As = [∝c.ηc.fcd.(bf – bw).hf + ∝c.ηc.fcd.bw.λx] /fyd; (30)

Exemplo: Viga t a Flexão Simples

Considere uma viga t de concreto armado, conforme descrita na Figura 4, submetida a um momento fletor solicitante de cálculo (Msd = 15 tf.m). As principais variáveis geométricas da seção transversal da viga e dos materiais aço e concreto são:

• resistência característica à compressão do concreto: fck = 20 MPa;
• resistência característica no escoamento do aço: fyk = 500 MPa (CA50);
• largura e altura da mesa: bf = 45 cm; hf = 8 cm;
• largura da alma: bw = 19 cm;
• altura útil da viga: d = 36 cm;
• Coeficientes de minoração da tensão no aço e concreto: ४_c = 1.4; ४_s = 1.15;

Para começar, determinam-se os parâmetros λ, ∝c e ηc perante as recomendações da NBR-6118 e a resistência a compressão de cálculo do concreto [fcd, Equação (7)]:

• λ = 0.8 ; ηc = 1; ∝c = 0.85;; Equações (1), (3) e (5);
• fcd = fck/४_c = 200/1.4 = 142.857 Kgf/cm² ;

Todavia, durante a manipulação das equações deve-se ter a devida atenção na conversão de unidades para convergência no uso das fórmulas.

Dito isso, o primeiro passo é calcular a altura da linha neutra (x), pois se enquadre no caso 1, considera-se logo a geometria da viga como seção retangular de largura bf e altura útil (d) e aplicam-se as devidas equações.

Cálculo da altura da linha neutra (x)

Pela versão mais simplificada da Equação (13), substitui-se os dados geométricos, material e resolve-se uma equação do 2o.grau com sua raiz representando o valor da linha neutra (x):

• (λ.x²)/2 – d.x + Msd/(∝c.ηc.fcd.bf.λ) = 0;
• 0.4x² – 36x + 343.1376 = 0;
• Raízes da equação: x1 =79.16 cm e x2 = 10.84 cm;
• Altura da linha neutra: x = 10.84 cm;
• λ.x = (0.8).(10.84) = 8.67 cm > hf;

Portanto, diante deste cenário, a zona de compressão na viga excede a altura da mesa (hf), logo, parte-se para a solução da viga no caso 2.

Dimensionamento da viga t : (λ.x > hf)

A princípio, transforma-se a seção da viga t original em uma seção t com largura (bf − bw), altura hf e momento resistente Mrd1 e mais uma seção retangular de largura e momento resistente Mrd2, conforme Figura 3.

Assim, pelo equilíbrio dos momentos fletores resistentes das seções equivalentes com o momento fletor solicitante (Msd), Equações (24) e (26), obtém-se:

• Mrd1 = ∝c.ηc.fcd.(bf-bw).hf.(d – 0.5 hf);
• Mrd1 = (0.85).(1).(142.857).(45-19).(8).(36-(0.5).8) = 808227.76 Kgf.cm;
• Msd ≤ Mrd1 + Mrd2; Mrd2 = 1500000 – 808227.76 = 691772.24 Kgf.cm;

Em seguida, recalcula-se o novo valor da altura da linha neutra (x) mediante o uso de uma versão mais simplificada da Equação (27):

• (λ.x²)/2 – λ.d.x + (Msd – Mrd1)/[∝c.ηc.fcd.bw.λ]= 0;
• 0.4x² – 36x + 374.7995 = 0;
• Raízes da equação: x1 =77.99 cm e x2 = 12.01 cm;
• Altura da linha neutra: x = 12.01 cm;
• λ.x = (0.8).(12.01) = 9.61 cm > hf ;

Deste modo, a relação (x/d) atende os requisitos da NBR-6118 quanto aos limites de deformação do concreto e do aço, Equação (28)?
x/d = 12.01/36 = 0.33 ≤ 0.45 (OK)

Cálculo da armadura de tração (As)

Por outro lado, simplifica-se a Equação (30), calcula-se a tensão de escoamento de cálculo do aço (fyd), Equação (15), e a respectiva área de aço necessária (As) para a seção t,:

• fyd = fyk/४_s = 5000/1.15 = 4348 Kgf/cm2;
• As = (∝c.ηc.fcd).[(bf – bw).hf + bw.λ.x)]/fyd
• As = ((0.85).(1).(142.857).[(45-19).8 + 19.(0.8).(12.01)]/4348
• As = 10.91 cm²;

Verificação do Equilíbrio de Forças na Seção t da viga

Por fim, vamos obter as forças de equilíbrio na região de compressão do concreto (Rcd1 e Rcd2), Equações (17) e (18) e na armadura (Rsd), Equação (9):

• Rcd1 = ∝c.ηc.fcd.(bf-bw).hf = (0.85).(1).(142.86).(45-19).8 = 25.26 tf
• Rcd2 = ∝c.ηc.fcd.bw.λ.x – (0.85).(1).(142.86).(19).(0.8).(12.01) = 22.17 tf
• Rsd = As. fyd = (10.91) . (4348) = 47.44 tf;
• Equilíbrio de Forças: Rsd = Rcd1 + Rcd2; (47.44 tf) = (25.26 + 22.17) (OK)

Verificação do dimensionamento da viga t

Em vista disso, para validar o procedimento apresentado neste exemplo numérico, a mesma viga t foi dimensionada na calculadora de flexão simples do software TQS (licença de uso própria).

Assim, os resultados obtidos para a altura da linha neutra (x), área de aço (As) e forças de equilíbrio (Rcd1, Rcd2 e Rsd) mostraram-se compatíveis com os valores fornecidos pelo programa, dentro dos arredondamentos usuais, Figura 5.

Aliás, este é apenas um exemplo hipotético, voltado a reforçar a importância de o engenheiro dominar também o cálculo manual, em complemento ao uso de softwares.

Porém, ainda são necessárias outras verificações de projeto e decisões de engenharia, que devem ser avaliadas caso a caso pelo responsável técnico.

Considerações Finais

O dimensionamento de viga t em concreto armado segue os mesmos princípios fundamentais das vigas retangulares, porém exige uma etapa adicional essencial: a verificação da posição da linha neutra (x).

A partir desse resultado, define-se qual modelo de cálculo será adotado para a viga, isto é, se a compressão atua somente na mesa ou se passa a envolver também a alma. Neste artigo, foram apresentados e discutidos os dois casos.

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